EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

A equação de Nernst–Planck é uma equação de conservação de massa usada para descrever o movimento de espécies químicas em um meio fluido. Descreve o fluxo de íons sob a influência conjunta de um gradiente de concentração iônica ${\displaystyle \nabla c}$ e de um campo elétrico ${\displaystyle E=-\nabla \phi }$. Ela estende a lei de Fick da difusão para o caso onde as partículas em difusão são também movidas em relação ao fluido por forças eletrostáticas.^[1][2] Se as partículas em difusão são elas mesmas carregadas, influenciam o campo elétrico em movimento.

A equação de Nernst–Planck é dada por:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-uc+{\frac {Dze}{k_{B}T}}c\nabla \phi \right]}$/

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde t é tempo, D é a difusividade das espécies químicas, c é a concentração das espécies, e u é a velocidade do fluido, z é a valência das espécies iônicas, e é a carga elementar, ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann e T é a temperatura.

A força que em média uma partícula componente i seja submetida, é proporcional ao gradiente do campo elétrico Φ e do potencial químico μ_i:

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=K_{\text{quimico}}\ \nabla \mu _{i}+K_{\text{eletrico}}\nabla \Phi }$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

O fluxo material específico, j do i-ésimo componente é encontrado por:

${\displaystyle \mathbf {j} _{i}=D_{i}^{*}\,\mathbf {F} _{i}\,c_{i}}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Espaço de fases em mecânica quântica

Uma das características distintas da mecânica quântica é que o estado físico de um sistema não determina o resultado de qualquer medida que possa fazer-se sobre ele. Em termos mais simples, o resultado de uma medida sobre dois sistemas quânticos que tenham o mesmo estado físico nem sempre resulta nos mesmos resultados. Assim uma teoria como a mecânica quântica que trata de descrever a evolução temporal dos sistemas físicos só pode prever a probabilidade de que ao medir uma determinada grandeza física se obtenha determinado valor. Isto quer dizer que a mecânica quântica realmente é uma teoria que explica como varia a distribuição de probabilidade das possíveis medidas de um sistema (entre duas medições consecutivas, já que no instante da medida se produz um colapso da função de onda aleatório).

O estado quântico de um sistema pelas razões anteriormente expostas não se parece em nada ao estado clássico de uma partícula ou um sistema de partículas. De fato o estado quântico de um sistema é representável mediante uma função de onda:

$${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$$

 / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A relação mais próxima entre espaço fásico e função de onda é que o quadrado do módulo da função de onda está relacionado com uma distribuição de probabilidade definida sobre o espaço fásico. Isto significa que, para construir o conjunto de estados quânticos ou espaço de Hilbert de certos sistemas quânticos, pode considerar-se inicialmente o espaço fásico que se usaria em sua descrição clássica e considerar o conjunto de funções de quadrado integrável sobre o espaço fásico, a este tipo de procedimento se conhece como quantização.

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de ${\displaystyle N}$ bósons idênticos de massa ${\displaystyle m}$, que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume ${\displaystyle V}$, a uma temperatura ${\displaystyle T}$, em equilíbrio, o número médio de partículas ${\displaystyle {\bar {n}}_{s}}$ num estado de energia ${\displaystyle s}$ é dado por

${\displaystyle {\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$ , / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

em que ${\displaystyle g_{s}}$ é a degenerescência quântica do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ é a energia do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico, e ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T}$, em que ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann^[1].

fermidirac

Quando os níveis de energia são muito próximos, de modo que podemos considerar que formam um contínuo, o número médio de partículas com energia entre ${\displaystyle \epsilon }$ e ${\displaystyle \epsilon +d\epsilon }$, pode ser escrito como^[5]

${\displaystyle n(\epsilon )=g(\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon }$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde ${\displaystyle g(\epsilon )}$ é a densidade de estados, de modo que ${\displaystyle g(\epsilon )d\epsilon }$ fornece o número de estados com energia entre ${\displaystyle \epsilon }$ e ${\displaystyle \epsilon +d\epsilon }$. E ${\displaystyle F(\epsilon )}$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

${\displaystyle F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A estatística de Kaniadakis (também conhecida como estatística κ) é uma generalização estatística baseada em uma nova entropia, nomeada entropia de Kaniadakis (ou entropia κ), desenvolvida pelo engenheiro greco-italiano Giorgio Kaniadakis em 2001,^[1] que surgiu como uma generalização relativística da entropia Boltzmann-Shannon.^[2][3][4]

A partir da otimização da entropia de Kaniadakis, é possível derivar uma coleção de distribuições de probabilidade consideradas as candidatas mais viáveis para explicar as distribuições estatísticas de cauda de lei de potência,^[5] observadas experimentalmente em vários sistemas complexos físicos,^[6] naturais^[7] e artificiais. Além disso, a estatística de Kaniadakis é amplamente utilizada no meio científico em diversas outras aplicações como física de reatores,^[8][9] geofísica^[10][11] e astrofísica.^[12][13]

Formalismo matemático

O formalismo matemático da estatística κ de Kaniadakis é gerado por funções κ-deformadas, especialmente a função κ-exponencial.

Função κ-exponencial

Gráfico da função κ-exponencial ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$ para três valores diferentes de κ. A curva preta sólida correspondente à função exponencial ordinária ${\displaystyle \exp(x)}$ (${\displaystyle \kappa =0}$)

A exponencial de Kaniadakis (ou κ-exponencial) é uma generalização de um parâmetro da função exponencial ordinária, dada por:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{se }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{se }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$/

com ${\displaystyle \exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)}$.

O κ-exponencial para ${\displaystyle 0<\kappa <1}$ também pode ser escrito na forma:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arcsenh}}(\kappa x){\Bigg )}.}$

Os primeiros cinco termos da expansão de Taylor de ${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}$ são dados por:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

onde os três primeiros são os mesmos da função exponencial ordinária.

Propriedades básicas

A função exponencial κ, como a exponencial ordinária, tem as seguintes propriedades:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(-\infty )=0^{+}}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(0)=1}$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(-x)=-1}$

Além disso, para um número real ${\displaystyle r}$, o κ-exponencial tem a propriedade:

${\displaystyle {\Big [}\exp _{\kappa }(x){\Big ]}^{r}=\exp _{\kappa /r}(rx)}$.

Função κ-logaritmo

Plot of the κ-logarithmic function ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$ for three different κ-values. The solid black curve corresponding to the ordinary logarithmic function ${\displaystyle \ln(x)}$ (${\displaystyle \kappa =0}$).

O logaritmo de Kaniadakis (ou κ-logaritmo) é uma generalização relativística de um parâmetro da função logarítmica ordinária,

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\kappa }-x^{-\kappa }}{2\kappa }}&{\text{se }}0<\kappa <1,\\[8pt]\ln(x)&{\text{se }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}}$

com ${\displaystyle \ln _{-\kappa }(x)=\ln _{\kappa }(x)}$, a função inversa do exponencial κ:

${\displaystyle \ln _{\kappa }{\Big (}\exp _{\kappa }(x){\Big )}=\exp _{\kappa }{\Big (}\ln _{\kappa }(x){\Big )}=x.}$

O logaritmo κ para ${\displaystyle 0<\kappa <1}$ também pode ser escrito na forma:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\sinh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}$

Os primeiros cinco termos da expansão de Taylor de ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$ são dados por:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\left(1+{\frac {\kappa ^{2}}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }$

seguindo a regra

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(\kappa )\,(-1)^{n-1}\,{\frac {x^{n}}{n}}}$

com ${\displaystyle b_{1}(\kappa )=1}$, e

${\displaystyle b_{n}(\kappa )(x)={\begin{cases}1&{\text{se }}n=1,\\[8pt]{\frac {1}{2}}{\Big (}1-\kappa {\Big )}{\Big (}1-{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )},\,+\,{\frac {1}{2}}{\Big (}1+\kappa {\Big )}{\Big (}1+{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1+{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}&{\text{para }}n>1,\\[8pt]\end{cases}}}$

onde ${\displaystyle b_{n}(0)=1}$ e ${\displaystyle b_{n}(-\kappa )=b_{n}(\kappa )}$. Os dois primeiros termos da expansão de Taylor de ${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}$ são os mesmos da função logarítmica comum.

Propriedades básicas

A função κ-logaritmo, como o logaritmo comum, tem as seguintes propriedades:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{\kappa }(x)>0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln _{\kappa }(x)<0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(0^{+})=-\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1)=0}$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(+\infty )=+\infty }$

${\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}$

Além disso, para um número real ${\displaystyle r}$, o κ-logaritmo tem a propriedade:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x^{r})=r\ln _{r\kappa }(x)}$

κ-Álgebra

κ-soma

Para qualquer ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ e${\displaystyle |\kappa |<1}$, a soma de Kaniadakis (ou κ-soma) é definida pela seguinte lei de composição:

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=x{\sqrt {1+\kappa ^{2}y^{2}}}+y{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}$,

que também pode ser escrito na forma:

${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y={1 \over \kappa }\,{\rm {senh}}\left({\rm {arcsenh}}\,(\kappa x)\,+\,{\rm {arcsenh}}\,(\kappa y)\,\right)}$,

onde a soma ordinária é um caso particular no limite clássico ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$: ${\displaystyle x{\stackrel {0}{\oplus }}y=x+y}$.

A κ-soma, como a soma ordinária, tem as seguintes propriedades:

${\displaystyle {\text{1. associatividade:}}\quad (x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y){\stackrel {\kappa }{\oplus }}z=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}z)}$

${\displaystyle {\text{2. elemento neutro:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}0=0{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=x}$

${\displaystyle {\text{3. elemento oposto:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-x)=(-x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}x=0}$

${\displaystyle {\text{4. comutatividade:}}\quad x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y=y{\stackrel {\kappa }{\oplus }}x}$

A κ-diferença ${\displaystyle {\stackrel {\kappa }{\ominus }}}$ é dada por ${\displaystyle x{\stackrel {\kappa }{\ominus }}y=x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}(-y)}$.

A propriedade fundamental ${\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}$ surge como um caso especial da expressão mais geral abaixo:${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(y)=exp_{\kappa }(x{\stackrel {\kappa }{\oplus }}y)}$

Além disso, as κ-funções e a κ-soma apresentam as seguintes relações:

${\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x){\stackrel {\kappa }{\oplus }}\ln _{\kappa }(y)}$

A distribuição de Kaniadakis

A distribuição de Kaniadakis pode ser considerada uma estatística não gaussiana ou ainda uma estatística quase Maxwelliana, pois é baseada numa generalização do teorema-H de Boltzmann,^[14] sendo dependente do parâmetro κ que mostra o desvio do sistema em questão de um comportamento gaussiano. Essa distribuição é baseada numa função exponencial deformada exp_{κ}(x) que obedece a seguinte condição:

${\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\,\exp _{\kappa }(-x)=1}$

A função exponencial considerando a estatística de Kaniadakis é dada pela seguinte equação:

${\displaystyle exp_{\kappa }(x)=({\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x)^{\frac {1}{\kappa }}}$

Física de reatores

Considerando a função exponencial, a distribuição κ pode ser escrita como:

${\displaystyle f_{\kappa }(V,T)=A_{\kappa }\,\exp _{\kappa }{\Bigg (}-{MV^{2} \over 2K_{B}T}{\Bigg )}}$

onde:

• ${\displaystyle A_{\kappa }=\left({\frac {|\kappa |M}{\pi K_{B}T}}\right)^{\left({\frac {1}{\kappa }}\right)}{\Bigg (}1+{1 \over 2}(n|\kappa |){\Bigg )}{\Bigg (}{{\Gamma {\Big (}{1 \over 2|\kappa |}+{n \over 4}{\Big )}} \over {\Gamma {\Big (}{1 \over 2|\kappa |}-{n \over 4}{\Big )}}}{\Bigg )}}$
• ${\displaystyle K_{B}}$ é a Constante de Boltzmann.
• T é a temperatura do meio.
• V é a velocidade do núcleo alvo.
• M é a massa do núcleo alvo.
• n é a dimensão do sistema.

Quando o parâmetro κ tende a zero, a função ${\displaystyle f_{\kappa }(V,T)}$ retorna à distribuição de Maxwell-Boltzmann, dada por:^[15][14]

${\displaystyle f(V,T)={\Bigg (}{M \over 2\pi K_{B}T}{\Bigg )}\,\exp {\Bigg (}-{MV^{2} \over 2K_{B}T}{\Bigg )}}$