EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial; geralmente, é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial, normalmente, pode ser decomposto em duas componentes: um potencial estático (e.g., campo elétrico) e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja, o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

Exemplos de equações de Langevin

Movimento browniano

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin,^[1] foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo, o movimento de uma partícula browniana de massa ${\displaystyle m}$ e posição ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)}$ é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos. O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força ${\displaystyle -\gamma {\boldsymbol {v}}(t)}$ onde ${\displaystyle \gamma }$ é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {x}}}(t)}$ é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ que se assume ser Gaussiana de media nula ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {0}}}$ , graças à lei dos grandes números, e função de correlação ${\displaystyle \left\langle \eta _{i}(t)\eta _{j}(t')\right\rangle =2d\gamma mk_{B}T\delta _{ij}\delta (\left\vert t-t'\right\vert )}$ para todas as direções ${\displaystyle i,j}$ do espaço de ${\displaystyle d}$ dimensões onde ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ é a constante de Boltzmann e ${\displaystyle T}$ é a temperatura do meio envolvente.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}(t)=-\gamma \mathbf {v} (t)+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\ddot {\boldsymbol {x}}}(t)}$ é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma transformada de Laplace por exemplo):

${\displaystyle m{\boldsymbol {v}}(t)=m{\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma \tau }{\boldsymbol {\eta }}(t-\tau )}$, /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {v}}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma (t-\tau )}\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(\tau )\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}}$;/G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}^{2}e^{-2\gamma t}+{\frac {1}{m^{2}}}\int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{t}d\tau '\ e^{-2\gamma \tau }\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ){\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ')\right\rangle =\left({\boldsymbol {v}}_{0}^{2}-{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}\right)e^{-2\gamma t}+{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}}$;

/G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio  a velocidade média da partícula é nula e

${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\frac {d}{2}}k_{\text{B}}T,}$ /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia média de partículas num gás perfeito.

Circuito elétrico com ruido térmico

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência elétrica:

${\displaystyle L{\frac {dI(t)}{dt}}=-RI(t)+v(t).}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Desenvolvida originalmente por Ludwig Boltzmann, esta equação é uma ferramenta poderosa para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gradientes de temperatura e densidade. Essa equação é muito importante na física estatística e amplamente aplicada no estudo de sistemas fora do equilíbrio termodinâmico. Geralmente, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo do transporte de calor e carga, fornecendo informações sobre propriedades de transporte como condutividade elétrica e térmica, viscosidade, etc. Para um sistema com função distribuição de partículas ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$ sujeita a uma força externa ${\displaystyle {\vec {F}},}$ a equação de Boltzmann é dada por

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}}$$

 /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde o termo da direita descreve o efeito das colisões entre as partículas do sistema.

Dedução matemática

Considere uma função de distribuição ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t),}$ de maneira que

$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$$

 /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

represente o número de partículas que, no instante ${\displaystyle t,}$ se encontra na posição ${\displaystyle {\vec {x}}}$ em um elemento de volume ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}}$ com momento ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {p}}}$ em torno de ${\displaystyle {\vec {p}}.}$ Na ausência de colisões entre as partículas desse sistema, temos

$${\displaystyle f({\vec {x}}+{\vec {v}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}=f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}}$$

 /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle {\vec {F}},}$ é um campo de força externo atuando nas partículas. Entretanto, se considerarmos as colisões entre partículas a densidade ${\displaystyle f}$ muda, e obtemos

$${\displaystyle f({\vec {x}}+{\frac {\vec {p}}{m}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}-f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}\mathrm {d} t.}$$

/

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Onde agora, o termo da direita descreve as colisões entre partículas. Expandindo o lado esquerdo em primeira ordem em ${\displaystyle \delta t,}$ chegamos a seguinte expressão para a equação de Boltzmann

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}.}$$

 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Desde de sua descoberta, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo de vários sistemas físicos, entretanto, soluções para essa equação só foram encontradas em 2010. Philip T. Gressman e Robert M. Strain encontraram uma solução global clássica para a equação de Boltzmann com interações de longo alcance.^[1]

A equação do virial é uma maneira de quantificar a não idealidade dos gases reais. À baixa pressão e alta temperatura os gases se comportam em geral como perfeitos; porém, em alguns casos, ao valor da relação PV/T varia com a pressão^{[necessário esclarecer]} e os gases obedecem a uma lei como:

${\displaystyle PV=RT+BP}$ (para 1 mol) /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle B}$ é chamado segundo coeficiente do virial.

Para aproximar ainda mais o cálculo da realidade, escreve-se a equação do virial:

PV=(RT +BP+CP2+DP3....) onde B,C,D são os segundo, terceiro, quarto... coeficiente do virial do gás estudado.

A determinação de valores para os coeficientes do virial são feitas a partir da comparação com dados obtidos experimentalmente para a relação entre pressão, volume e temperatura. Sendo assim, a equação do virial é a que possui maior potencial descritivo de um gás real. Porém, o uso de um grande número de parâmetros matemáticos torna o cálculo mais complicado. Além disso, os coeficientes do virial tendem a decair sequencialmente de modo significativo, de modo que B>>C. Assim, costuma-se simplificar a equação do virial considerando B o único coeficiente diferente de zero.

Em física e química e campos relacionados, equações mestre são usadas para descrever a evolução no tempo de um sistema que pode ser modelado como estando em um exato número contável de estados a qualquer tempo dado, e onde a divisão entre estados é tratada probabilisticamente. As equações são usualmente um conjunto de equações diferenciais para a variação no tempo das probabilidades que tal sistema ocupa em cada diferente estado.

Introdução

Uma equação mestre é um conjunto fenomenológico de equações diferenciais de primeira ordem^{[carece de fontes]} descrevendo a evolução no tempo (usualmente) da probabilidade de um sistema ocupar cada um dos conjuntos discretos de estados^{[carece de fontes]} com respeito a uma variável contínua de tempo t. A mais familiar forma de uma equação mestre na forma de matriz:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {P}},}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle {\vec {P}}}$ é um vetor coluna (onda elemento i representa estado i), e ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é a matriz de conexões. A forma como as conexões entre os estados são feitas determina a dimensão do problema, é tanto

• um sistema d-dimensional (onde d é 1,2,3,...), onde qualquer estado está conectado com exatamente seu 2d mais próximos vizinhos, ou
• uma rede, onde cada par de estados pode ter uma conexão (dependendo das propriedades da rede).

Quando as conexões são simplesmente números, a equação mestre representa um esquema cinético, e o processo é Markoviano (qualquer salto de tempo da função densidade de probabilidade para o estado i é um exponencial, com uma taxa igual ao valor da conexão). Quando as conexões dependem do tempo atual (i.e. a matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ depende do tempo, ${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)}$ ), o processo não é Markoviano, e a equação mestre obedece,

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {P}}.}$/

G ψ = E ψ =  E [G+].... ..