EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

Espaço de fases em mecânica quântica

Uma das características distintas da mecânica quântica é que o estado físico de um sistema não determina o resultado de qualquer medida que possa fazer-se sobre ele. Em termos mais simples, o resultado de uma medida sobre dois sistemas quânticos que tenham o mesmo estado físico nem sempre resulta nos mesmos resultados. Assim uma teoria como a mecânica quântica que trata de descrever a evolução temporal dos sistemas físicos só pode prever a probabilidade de que ao medir uma determinada grandeza física se obtenha determinado valor. Isto quer dizer que a mecânica quântica realmente é uma teoria que explica como varia a distribuição de probabilidade das possíveis medidas de um sistema (entre duas medições consecutivas, já que no instante da medida se produz um colapso da função de onda aleatório).

O estado quântico de um sistema pelas razões anteriormente expostas não se parece em nada ao estado clássico de uma partícula ou um sistema de partículas. De fato o estado quântico de um sistema é representável mediante uma função de onda:

$${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$$

 / /G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

A relação mais próxima entre espaço fásico e função de onda é que o quadrado do módulo da função de onda está relacionado com uma distribuição de probabilidade definida sobre o espaço fásico. Isto significa que, para construir o conjunto de estados quânticos ou espaço de Hilbert de certos sistemas quânticos, pode considerar-se inicialmente o espaço fásico que se usaria em sua descrição clássica e considerar o conjunto de funções de quadrado integrável sobre o espaço fásico, a este tipo de procedimento se conhece como quantização.

Em mecânica estatística, o Ensemble Grande Canônico, Grande Ensemble ou Ensemble Macrocanônico é um ensemble estatístico que modeliza um sistema termodinâmico em contato com um reservatório térmico e de partículas, com temperatura e potencial químico fixos.

Um dos interesse desse ensemble é sua capacidade de tratar sistemas com número de partículas variável, além do fato que a função de partição grande canônica é às vezes mais simples a calcular que a função de partição do ensemble canônico, como no caso dos gases quânticos de férmions e bósons.

Função de partição

Classicamente, a função de partição do ensemble grande canônico é dada pela soma ponderada da função de partição do ensemble canônico para um sistema de ${\displaystyle N\,}$ partículas

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(z,V,T)=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}\,Z(N,V,T)\,}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle Z(N,V,T)\,}$ é a função de partição do ensemble canônico para um sistema de volume V à temperatura T com o número de partículas N fixo. O parâmetro ${\displaystyle z\,}$ é definido abaixo e é chamado fugacidade (ou atividade) do sistema

${\displaystyle \mu =k_{B}T\ln z\,}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle \mu \,}$ corresponde ao potential químico.

A função de partição grande canônica ainda pode ser reescrita como uma soma sobre os microestados j do sistema, caracterizados pela energia ${\displaystyle E_{j}\,}$ e pelo número de partículas ${\displaystyle N_{j}\,}$,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(z,V,T)=\sum _{j}\exp(-\beta E_{j}+\beta \mu N_{j})\,}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T\,}$.  /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Quantidades termodinâmicas

Se considerarmos ${\displaystyle z\,}$ e ${\displaystyle \beta \,}$ como variáveis independentes, o número médio de partículas e a energia interna média do sistema são dados por

${\displaystyle \langle N\rangle =z{\frac {\partial }{\partial z}}\ln {\mathcal {Z}}(z,V,T)\;\;{\text{ e }}\;\;\langle E\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\mathcal {Z}}(z,V,T).}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Se considerarmos ${\displaystyle \mu \,}$ e ${\displaystyle \beta \,}$ como variáveis independentes, obtemos expressões equivalentes para o número de partículas

${\displaystyle \langle N\rangle ={\dfrac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {\mathcal {Z}}(\mu ,V,\beta )\;\;{\text{ e }}\;\;\langle E\rangle =-{\dfrac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\mathcal {Z}}(\mu ,V,\beta )+\mu \langle N\rangle }$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Os potenciais termodinâmicos podem igualmente ser obtidos, sendo a conexão com a termodinâmica estabelecida pelo grande potencial ${\displaystyle \Phi }$ que nos fornece todas as quantidades de interesse no limite termodinâmico. A energia livre de Helmholtz possibilita o mesmo tipo de conexão quando o problema é tratado pelo ensemble canônico.

${\displaystyle \Phi (T,V,\mu )=-{\dfrac {1}{\beta }}\ln {{\mathcal {Z}}(T,V,\mu )}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

A pressão, por exemplo, também pode ser expressa em termos da função de partição grande canônica

${\displaystyle PV=k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Estatística de bósons e férmions

A função de partição grande canônica de um sistema de bósons e férmions pode ser facilmente calculada a partir do conceito de número de ocupação, diferentemente da função de partição canônica que não se fatoriza devido as correlações introduzidas pelo princípio de exclusão de Pauli.

Denotamos ${\displaystyle n_{i}}$ o número de partículas no auto-estado ${\displaystyle i\,}$ de energia ${\displaystyle \epsilon _{i}\,}$ para um micro-estado específico do sistema. Nesse caso, a função de partição de um sistema de férmions ou bósons independentes e idênticos se fatoriza

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(z,V,T)=\prod _{k}\left(\sum _{n_{k}}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )n_{k}}\right),}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

sendo essas somas calculáveis a partir do princípio de exclusão de Pauli, que impõe ${\displaystyle n_{i}={\text{0,1}}\,}$ para férmions e ${\displaystyle n_{i}\,}$ natural para bósons, de forma que ela se escreve

${\displaystyle \ln {\mathcal {Z}}=-\tau \sum _{k=1}^{\infty }\ln \left[1-\tau \exp {(\beta (\mu -\epsilon _{k}))}\right],}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

em que ${\displaystyle \tau =1}$ para bósons e ${\displaystyle \tau =-1}$ para férmions.

Em física estatística a equação de coagulação de Smoluchowski é uma equação integrodiferencial introduzida por Marian Smoluchowski em sua publicação seminal de 1916^[1] descrevendo a evolução temporal da concentração de particuas coagulando (processo de floculação).

Equação

No caso do tamanho das particulas ser modelado por uma distribuição contínua, a equação possui integrais:

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy-\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.}$

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

No caso do tamanho das partículas ser modelado por variáveis discretas, i.e. quando as particulas se juntarem formando classes discretas de agregados com tamanhos fixos, então a equação possui somatórias:

${\displaystyle {\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).}$

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

No caso discreto, cada somatória pode ser interpretada como uma função de fluxo de massa. Assim,

${\displaystyle {\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}J_{e}-J_{s},}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle J_{e}}$ é o fluxo de entrada de massa vindo de partículas menores, e ${\displaystyle J_{e}}$ é o fluxo de saída para agregados maiores.

A quantidade n tem a unidade de partículas por volume (concentração volumétrica).

Kernel de Coagulação

O operador linear K é chamado de kernel. Ele descreve a taxa com a qual partículas de tamanho x se aglutinam com outros partículas de tanho y. Soluções analíticas para a equação de Smoluchowski existem quando o kernel tem uma das seguintes formas:

${\displaystyle K=1,\quad K=x+y,\quad K=xy,}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

conhecidas respectivamente como constante, aditiva and multiplicativa. No entanto, na maioria das aplicações práticas o kernel possui formas significamente mais complexes, por exemplo o kernel que descreve a colisão de moléculas de gás,

${\displaystyle K={\sqrt {\frac {\pi k_{b}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x)}}+{\frac {1}{m(y)}}\right)^{1/2}\left(d(x)+d(y)\right)^{2}.}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Geralmente, equaçõs de coagulação que modelando kernels fisicamente realistas não precisam ser resolvidos numericamente. Existem métodos determinísticos que podem ser usados se somente houver uma unica classe de particulas (x) de interesse. No caso de sistemas multivariáveis entretanto, quando duas ou mais propriedadas (como tamanho, forma ou composição do agregado) são incluidas, aproximações especiais que sofrem menos da maldição da dimensionalidade precisam ser aplicadas. Por exemplo, aproximações baseadas em funções gaussianas de base radial podem ser aplicadas para equação de coagulação bidimensionais.^[2] Quando a precisão da solução não é de tão importante métodos estocásticos são bastante atraentes.

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde

• D é a constante de difusão,
• q é a carga elétrica da partícula,
• μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
• ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann,
• T é a temperatura absoluta,
• η é a viscosidade
• r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

é no caso de uma partícula carregada:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade ${\displaystyle \mu }$ é o inverso do coeficiente de arrasto ${\displaystyle \zeta }$. Uma constante de amortecimento, ${\displaystyle \gamma }$, é frequentemente usada no contexto de ${\displaystyle \gamma ^{-1}}$, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio ${\displaystyle r}$, a lei de Stokes fornece

${\displaystyle \zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle \eta }$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$ 

 /G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle \eta }$ é o potencial químico e p o número de partículas.